Сравнение натуральных чисел: равно или не равно, больше или меньше?

Целые числа и их свойства

Целые числа обладают несколькими важными свойствами:

1. Сложение и вычитание: Целые числа могут быть складываны и вычитаны. При сложении положительного числа и отрицательного числа получится число ближе к нулю, а при сложении двух положительных или двух отрицательных чисел получится более строгое положительное или отрицательное число соответственно.
2. Умножение: Целые числа можно умножать. Умножение положительного числа на положительное число или умножение отрицательного числа на отрицательное число дает положительное число. Умножение положительного числа на отрицательное число или отрицательного числа на положительное число дает отрицательное число.
3. Деление: Целые числа можно делить. При делении положительного числа на положительное число или отрицательного числа на отрицательное число результат будет положительным числом. При делении положительного числа на отрицательное число или отрицательного числа на положительное число результат будет отрицательным числом.
4. Абсолютная величина: Целые числа имеют абсолютную величину, которая показывает, насколько число находится от нуля. Абсолютная величина положительного числа равна самому числу, а абсолютная величина отрицательного числа равна самому числу, но с противоположным знаком.
5. Сравнение: Целые числа могут быть сравниваемыми. Положительное число всегда больше нуля, отрицательное число всегда меньше нуля, а два положительных числа или два отрицательных числа сравниваются по модулю.

Целые числа являются основой арифметики и имеют важное значение в математике и других науках

Сравнение многозначных натуральных чисел.

Для начала разберемся со сравнением двух неравных многозначных натуральных чисел, записи которых состоят из равного количества знаков. Прежде чем продолжить чтение, рекомендуем освежить в памяти информацию из раздела .

Сравнение таких чисел проводится поразрядно слева направо до нахождения неравных значений разрядов. Меньшим (большим) будем считать то число, у которого значение соответствующего разряда меньше (больше).

Для применения озвученного правила нам понадобиться принять еще одну условность: будем считать, что число меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю (напомним, что число не относится к натуральным числам).

Разберемся на примерах.

Пример.

Сравните два двузначных числа: 35 и 65.

Решение.

Очевидно, данные натуральные числа не равны и их записи состоят из двух знаков. Сравниваем значения разряда десятков, в результате имеем неравенство 3<6, следовательно, 35<65.

Ответ:

35<65.

Пример.

Сравните натуральные числа 302 и 307.

Решение.

Очевидно, данные натуральные числа не равны и они оба трехзначные. Сначала сравниваем значения разряда сотен. Имеем равенство 3=3, поэтому переходим к сравнению значений разряда десятков. Опять имеем равенство 0=0, поэтому переходим к сравнению значений разряда единиц. Теперь имеем неравенство 2<7, из которого делаем вывод, что 302<307.

Ответ:

302<307.

Осталось разобраться со сравнением двух многозначных натуральных чисел, записи которых состоят из неравного количества знаков.

В этих случаях, меньшим (большим) будем считать то число, запись которого состоит из меньшего (большего) количества знаков.

Пример.

Сравните многозначные натуральные числа 40 392 и 92 248 812.

Решение.

Запись числа 40 392 состоит из 5 знаков, а запись числа 92 248 812 – из 8 знаков. Так как 5<8, то число 40 392 меньше, чем число 92 248 812.

Ответ:

40 392<92 248 812.

Пример.

Какое из данных натуральных чисел больше 50 933 399 или 10 000 011 359?

Решение.

Число 50 933 399 — восьмизначное, а число 10 000 011 359 — одиннадцатизначное. Число 11 в свою очередь больше, чем число 8 (двузначное число 11 больше однозначного числа 8, о чем мы говорили в предыдущем пункте), поэтому, число 10 000 011 359 больше числа 50 933 399.

Ответ:

10 000 011 359>50 933 399.

Пример.

Сравните многозначные натуральные числа 9 876 545 678 и 987 654 567 811.

Решение.

Запись натурального числа 9 876 545 678 состоит из 10 знаков, а числа 987 654 567 811 — из 12. Таким образом, сравнение исходных многозначных чисел сводится к сравнению чисел 10 и 12.

Очевидно, числа 10 и 12 не равны и они оба двузначные. Сравниваем сначала значения разряда десятков, имеем равенство 1=1, поэтому переходим к сравнению значений разряда единиц. Имеем неравенство 0<2, следовательно, 10<12.

Теперь мы можем утверждать, что 9 876 545 678<987 654 567 811.

Ответ:

9 876 545 678<987 654 567 811.

Синонимы к слову «попарно»

В некоторых словарях и определениях можно найти синонимы для слова «попарно», такие как «взаимно» или «друг за другом». Например, выражение «числа взаимно просты» означает, что эти числа не имеют общих делителей, кроме единицы.

Также можно использовать синонимы, связанные с понятием «взаимное» или «совместное». Например, «числа разделяются попарно» означает, что эти числа делятся друг на друга без остатка.

Слова «по-отдельности», «поочередно» или «поодиночке» также могут использоваться вместо «попарно». Например, «решив уравнение поочередно, мы получили два корня».

Использование синонимов помогает разнообразить текст и делает его более интересным для чтения. Также, использование разных слов с похожим значением может помочь лучше запомнить и усвоить материал.

Что такое попарно различные числа?

Особенность попарно различных чисел заключается в их уникальности. В таком наборе чисел нет повторений, что делает их удобными для нумерации или идентификации объектов. Например, если мы имеем набор попарно различных чисел от 1 до 10, мы можем однозначно идентифицировать каждое из них и присвоить им уникальное значение или порядковый номер.

Примеры попарно различных чисел:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6
• 10, 20, 30, 40, 50
• -1, 0, 1, 2, 3

В этих примерах каждое число в наборе отличается от остальных, что соответствует определению попарно различных чисел.

Определение

Другими словами, попарно различные числа не имеют одинаковых значений и могут быть упорядочены в произвольном порядке.

Например, набор чисел {1, 2, 3, 4} является попарно различным, поскольку все числа в нем отличаются друг от друга. Набор чисел {1, 1, 2, 3} не является попарно различным, так как первые два числа равны.

Попарно различные числа используются в различных областях математики и программирования, например, при работе с множествами и сортировкой данных.

Для наглядного представления попарно различных чисел и их свойств может быть использована таблица:

Число 1	Число 2	Число 3
1	2	3

Попарно различные числа — это набор чисел, в котором любые два числа различны между собой.

Попарно различные числа представляют собой набор чисел, в котором каждое число отличается от других чисел набора. Это означает, что в таком наборе не существует повторяющихся чисел.

Например, рассмотрим набор чисел: {1, 2, 3, 4}. В этом наборе все числа попарно различны, так как каждое число отличается от остальных чисел. Число 1 отличается от чисел 2, 3 и 4, число 2 отличается от чисел 1, 3 и 4, и так далее.

Имеются различные методы для определения, является ли набор чисел попарно различным. Один из таких методов — это сравнить каждое число набора с остальными числами и проверить, есть ли среди них повторяющиеся числа. Если повторяющиеся числа отсутствуют, то набор является попарно различным.

Попарно различные числа находят применение в различных областях математики и информатики. Например, в алгоритмах сортировки и поиска данных часто требуется работа с попарно различными числами.

Примеры
{1, 2, 3, 4}
{5, 8, 12, 15, 23}
{-1, 0, 1, 2, 3}

Все приведенные примеры являются наборами попарно различных чисел, так как в каждом примере каждое число отличается от других чисел набора.

Примеры

Вот несколько примеров попарно различных чисел:

Пример	Описание
2 и 3	Эти числа различны, так как одно число — 2, а другое — 3.
-5 и 7	Эти числа различны, так как одно число — -5, а другое — 7.
10 и 20	Эти числа различны, так как одно число — 10, а другое — 20.
-100 и 1000	Эти числа различны, так как одно число — -100, а другое — 1000.

Попарно различные числа — это числа, которые отличаются друг от друга хотя бы в одной цифре или значении. Они могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. Особенность таких чисел заключается в том, что они представляют разные значения и могут использоваться для различных целей в математике и науке.

Каноническое разложение натурального числа в общем виде

Каноническое разложение натурального числа в общем виде имеет вид:

$m=p^{n1}_1\cdot p^{n2}_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^{nk}_k$

где $p_1,p_2\dots \dots .p_k$- простые числа, а показатели степеней- натуральные числа.

Представление числа в виде канонического разложения на простые множества облегчает нахождение наибольшего общего делителя чисел, и выступает как следствие доказательства или определения взаимно простых чисел.

Пример 3

Найти наибольший общий делитель чисел $180$ и $240$.

Решение: Разложим числа на простые множества с помощью канонического разложения

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, тогда $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, тогда $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Теперь найдем НОД этих чисел, для этого выберем степени с одинаковым основанием и с наименьшим показателем степени, тогда

$НОД \ (180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Составим алгоритм нахождения НОД с учетом канонического разложения на простые множители.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел с помощью канонического разложения, необходимо:

1. разложить числа на простые множители в каноническом виде
2. выбрать степени с одинаковым основанием и с наименьшим показателем степени входящих в состав разложения этих чисел
3. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 4

Определить, будут ли простыми, взаимно простыми числами числа $195$ и $336$.

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

1. $195=3\cdot 5\cdot 13$

   $336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

2. $НОД \ (195;336) =3\cdot 5=15$

Мы видим, что НОД этих чисел отличен от $1$, значит числа не взаимно простые. Также мы видим, что в состав каждого из чисел входят множители, помимо $1$ и самого числа, значит простыми числа так же являться не будут, а будут являться составными.

Пример 5

Определить, будут ли простыми, взаимно простыми числами числа $39$ и $112$.

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

1. $39=3\cdot 13$

   $112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

2. $НОД \ (39;112)=1$

Мы видим, что НОД этих чисел равен $1$, значит числа взаимно простые. Также мы видим, что в состав каждого из чисел входят множители, помимо $1$ и самого числа, значит простыми числа так же являться не будут, а будут являться составными.

Пример 6

Определить будут ли простыми, взаимно простыми числами числа $883$ и $997$.

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

1. $883=1\cdot 883$

   $997=1\cdot 997$

2. $НОД \ (883;997)=1$

Мы видим, что НОД этих чисел равен $1$, значит числа взаимно простые. Также мы видим, что в состав каждого из чисел входят только множители, равные $1$ и самому числу, значит числа будут являться простыми.

См также

В контексте попарно различных чисел, полезно знать, что такое и как использовать это понятие. Однако, для более полного понимания, рекомендуется ознакомиться со следующими темами и материалами:

С содержанием вышеуказанных материалов, вы сможете лучше разобраться в понятии «попарно» и использовать его в различных контекстах и задачах. Не ограничивайтесь только данным материалом, но продолжайте научный поиск и расширяйте свои знания о числах и их взаимоотношениях.

В русской классической лингвистике слово «попарно» имеет значение «вместе и взаимно», а также является синонимом для слова «парно». Изначально, это слово применялось в математике, где попарно различные числа — это числа, отличающиеся друг от друга в сочетаниях. Например, если имеются числа 1, 2 и 3, то они образуют попарно различные числа, так как каждое число встречается только один раз в каждой паре.

В контексте предложения «делаем из слова “попарно» разные слова с тем же значением» можно понять, что речь идет о создании разных слов с одним и тем же смыслом или контекстом. Другим примером использования слова «попарно» может быть задание 18 из ЕГЭ по русскому языку, где необходимо найти связанные по смыслу слова.

Попарно разные числа также имеют некоторое значение в математике. Они являются числами, которые делятся без остатка друг на друга. Например, числа 2 и 3 являются попарно различными числами, так как ни одно из них не делится на другое без остатка. Однако, числа 2 и 4 не являются попарно различными, так как 4 делится на 2 без остатка. Такие числа обладают свойством, которое можно использовать для решения некоторых задач и теорем в математике.

В научных и официальных текстах, а также в словарях и энциклопедиях, можно найти более точные определения и примеры использования слова «попарно». Например, в словаре Даля дано следующее определение: «попа́рно — побогатейшое д.x.d.y. слово, обозначающее отношение предметов вещей места и время по достоинству». Цитаты и ссылки на известных ученых и классиков также часто включают слово «попарно» для ясного выражения своих мыслей и заключений.

Итак, узнав значение слова «попарно» и его использование, мы можем делать попарно различные числа в математике, создавать разнообразные слова с одним и тем же смыслом в русском языке и использовать его в научных и официальных текстах для ясного выражения мыслей и идей.

Попарно различные числа что это такое и как использоватьУзнайте что представляют собой

Contents

Двойные неравенства, тройные неравенства и так далее.

Мы знаем, что 5<12, а 12<35. Два записанных неравенства иногда удобно представлять в виде двойного неравенства: 5<12<35. Следует заметить, что двойное неравенство дает три неравенства 5<12, 12<35 и 5<35, а не два 5<12 и 12<35. Однако неравенство 5<35 следует из неравенств 5<12 и 12<35 (смотрите раздел теории ).

В виде двойного неравенства можно записывать результат сравнения трех натуральных чисел. Например, пусть нам нужно сравнить три натуральных числа 76, 512 и 10. Сравнивая попарно данные числа, имеем три неравенства 76<512, 76>10 и 512>10, которые можно записать как двойное неравенство 10<76<512.

Аналогично строятся тройные, четверные и т.д. неравенства. Например, мы знаем, что 5<17, 17<305, 305<1 000, 1 000<3 214, тогда можно записать 5<17<305<1 000<3 214.

Список литературы.

Значение слова «попарно»

Значение слова «попарно» относится к свойствам чисел и их взаимному соотношению. Если говорить о числах, то они могут быть разделены на пары, причем числа в каждой паре должны быть различными. Например, для чисел 1, 2 и 3 можно сказать, что они образуют попарно различные числа.

В контексте математических задач и уравнений, понятие «попарно» может означать, что необходимо рассматривать все возможные комбинации чисел вместе. Например, если есть задача о нахождении всех попарно различных элементов в некотором множестве.

Существует также связанные с понятием «попарно» понятия и термины. Например, в теории чисел есть понятие «попарно взаимно простых чисел», которое означает, что числа взаимно просты между собой. Также есть понятие «попарное деление», что означает, что одно число делится на другое без остатка.

Для лучшего понимания значения слова «попарно» можно привести примеры из русской классики. Например, Александр Сергеевич Пушкин в своих произведениях часто использовал слово «попарно» для описания взаимного сочетания двух или более предметов или понятий. Вот некоторые цитаты:

Попарно различные числа: что это такое и как использовать, узнайте!

Цитата	Произведение	Год написания
«Попа́рно написаны все эти предложения»	«Евгений Онегин»	1823-1831
«СМ. ТАБЛИЦУ»	«Дубровский»	1832
«математическая карта, где числа некоторые всегда делятся попарно на два других»	«Евгений Онегин»	1823-1831

Кроме того, слово «попарно» может использоваться в контексте предложений и заданий на экзаменах, включая ЕГЭ и другие экзамены. Например: «Разложите число 18 на попарно различные простые множители».

Содержание определения слова «попарно» можно смотреть и в научных источниках и справочных материалах. Например, на Википедии есть статья с информацией о попарной сумме квадратов чисел и их свойствах.

Такое значение слова «попарно» является простым, понятным и полезным для использования в различных ситуациях. Используйте его вместе со связанными с ним терминами и понятиями, чтобы лучше описывать и решать математические задачи, а также для более точного и точного выражения своих мыслей и идей.

Как определить, что числа попарно различны?

Чтобы определить, что числа попарно различны, нужно проверить, что все числа в наборе не повторяются и не совпадают друг с другом.

Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Составить набор чисел: выберите любое количество чисел, которые хотите проверить на попарную различность.
2. Проверить наличие повторений: просмотрите весь набор и убедитесь, что каждое число встречается только один раз. Если в наборе есть повторяющиеся числа, то они не являются попарно различными.
3. Сравнить все числа друг с другом: сравните каждое число в наборе со всеми остальными числами. Если хотя бы одно число совпадает с другим числом, то набор не является попарно различным.

Попарно различные числа означают, что каждое число в наборе отличается от всех остальных чисел и не повторяется. Наличие повторений или совпадений в наборе делает его неподходящим для условия попарной различности.

Проверяя числа на попарную различность, можно убедиться, что все числа в наборе действительно уникальны и не совпадают друг с другом. Это может быть полезным при решении определенных математических или программных задач, где требуется работать с наборами попарно различных чисел.

Критерии попарной различности

Для определения попарной различности чисел необходимо выполнение нескольких критериев:

1. Каждое число должно быть уникальным и не повторяться среди остальных чисел.
2. Попарно различные числа не могут иметь никаких общих элементов или свойств. Если два числа имеют хотя бы одно общее свойство, они не являются попарно различными.
3. Попарно различные числа должны быть различными на всех уровнях сравнения. Например, если есть два числа, то необходимо проверить их различие как в целом, так и в отдельных разрядах или десятичных позициях.

Таким образом, попарно различные числа могут быть определены только при выполнении указанных критериев. Их соблюдение позволяет гарантировать факт полного отсутствия любого сходства или повторения между числами.

Применение алгоритмов для определения попарной различности чисел

Для определения попарной различности чисел можно применять различные алгоритмы. Один из простых способов — это использование двойного цикла. Перебираются все пары чисел из заданного множества, и проверяется, что оба числа различны:

В этом алгоритме каждая пара чисел проверяется только один раз, поэтому он имеет временную сложность O(n^2), где n — количество чисел в множестве. Если количество чисел велико, то этот алгоритм может быть неэффективным.

Еще одним эффективным алгоритмом может являться использование структуры данных Set. Set — это коллекция уникальных значений, и добавление элемента в Set не происходит, если такое значение уже существует. Для определения попарной различности чисел можно добавить все числа из заданного множества в Set и затем проверить, что размер Set равен размеру множества чисел:

В этом алгоритме используется один проход по всем числам, и добавление числа в Set происходит за константное время O(1). Таким образом, алгоритм имеет временную сложность O(n), где n — количество чисел в множестве.

Выбор алгоритма для определения попарной различности чисел зависит от конкретной задачи и требований к производительности. При работе с небольшими множествами чисел можно использовать более простые алгоритмы, а при работе с большими множествами лучше выбрать более эффективные алгоритмы.

Натуральные числа на координатном луче.

Давайте для начала вспомним, что представляет собой .

Если смотреть слева направо, то каждой точке координатного луча, отмеченной штрихом, мы последовательно ставили в соответствие натуральные числа 1, 2, 3, …, которые назвали координатами этих точек. При таком построении получается, что точки, которым соответствуют меньшие натуральные числа, расположены левее точек, которым соответствуют большие натуральные числа. Следовательно, точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.

В качестве примера возьмем натуральные числа 2 и 6. Рассмотрим две точки A и B на координатном луче, координатами которых являются натуральные числа 2 и 6 соответственно.

Очевидно, точка А лежит левее точки B, следовательно, координата точки A меньше координаты точки B, то есть, 2<6. Можно было рассуждать и так: «Точка B(6) расположена правее точки A(2), поэтому, натуральное число 6 больше натурального числа 2».

Значение и применение попарно различных положительных двузначных чисел

Попарно различные положительные двузначные числа – это числа, состоящие из двух цифр, где все цифры различны и ни одна из них не равна нулю. Они имеют замечательные свойства и находят применение в различных областях.

• В математике: попарно различные положительные двузначные числа могут быть использованы в примерах и задачах для обучения арифметике и алгебре. Они помогают демонстрировать различные математические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.
• В программировании и компьютерных науках: двузначные числа с различными цифрами могут использоваться для создания случайных чисел или генерации уникальных идентификаторов. Они также могут применяться для проверки и валидации данных или в алгоритмах поиска и сортировки.
• В статистике и экономике: положительные двузначные числа с различными цифрами могут использоваться для представления данных, таких как статистические показатели, финансовые данные или цены. Они могут быть использованы для иллюстрации трендов, сравнения и анализа данных.
• В играх и развлечениях: попарно различные положительные двузначные числа могут быть использованы для создания числовых головоломок, генерации случайных событий или определения правил и условий игры. Они также могут быть использованы для создания номеров, кодов доступа или паролей.

Попарно различные положительные двузначные числа обладают уникальным значением и широким спектром применения в различных областях. Их использование позволяет создавать интересные и эффективные решения для разных задач и ситуаций.

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.

Взаимно простыми будут два таких числа a и b , наибольший общий делитель которых равен 1 , т.е. НОД ( a , b ) = 1 .

Из данного определения можно сделать вывод, что единственный положительный общий делитель у двух взаимно простых чисел будет равен 1 . Всего два таких числа имеют два общих делителя – единицу и минус единицу.

Какие можно привести примеры взаимно простых чисел? Например, такой парой будут 5 и 11 . Они имеют только один общий положительный делитель, равный 1 , что является подтверждением их взаимной простоты.

Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.

Это утверждение иллюстрирует следующий пример: составные числа — 9 и 8 образуют взаимно простую пару. Докажем это, вычислив их наибольший общий делитель. Для этого запишем все их делители (рекомендуем перечитать статью о нахождении делителей числа). У 8 это будут числа ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 , а у 9 – ± 1 , ± 3 , ± 9 . Выбираем из всех делителей тот, что будет общим и наибольшим – это единица. Следовательно, если НОД ( 8 , − 9 ) = 1 , то 8 и — 9 будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Взаимно простыми числами не являются 500 и 45 , поскольку у них есть еще один общий делитель – 5 (см. статью о признаках делимости на 5 ). Пять больше единицы и является положительным числом. Другой подобной парой могут быть — 201 и 3 , поскольку их оба можно разделить на 3 , на что указывает соответствующий признак делимости.

На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей. Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.

Условие: выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84 .

Решение

Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.

Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275 = 84 · 3 + 23 , 84 = 23 · 3 + 15 , 23 = 15 · 1 + 8 , 15 = 8 · 1 + 7 , 8 = 7 · 1 + 1 , 7 = 7 · 1 .

Ответ: поскольку НОД ( 84 , 275 ) = 1 , то данные числа будут взаимно простыми.

Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.

Взаимно простыми целые числа a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 будут тогда, когда они имеют наибольший общий делитель, равный 1 .

Иными словами, если у нас есть набор некоторых чисел с наибольшим положительным делителем, большим 1 , то все эти числа не являются по отношению друг к другу взаимно обратными.

Возьмем несколько примеров. Так, целые числа − 99 , 17 и − 27 – взаимно простые. Любое количество простых чисел будет взаимно простым по отношению ко всем членам совокупности, как, например, в последовательности 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 и 667 . А вот числа 12 , − 9 , 900 и − 72 взаимно простыми не будут, потому что кроме единицы у них будет еще один положительный делитель, равный 3 . То же самое относится к числам 17 , 85 и 187 : кроме единицы, их все можно разделить на 17 .

Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.

Условие: определите, являются ли числа 331 , 463 и 733 взаимно простыми.

Решение

Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица.

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Условие: приведите доказательство того, что числа − 14 , 105 , − 2 107 и − 91 не являются взаимно простыми.

Решение

Начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1 . Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД ( − 14 , 105 , 2 107 , − 91 ) = НОД ( 14 , 105 , 2 107 , 91 ) . Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи.

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Сочетания с повторениями: примеры

Примеры сочетаний с повторениями могут быть полезны в различных областях, таких как математика, информатика, статистика и другие. Рассмотрим несколько примеров:

Пример	Объекты	Результат
Сочетания с повторениями из 2 элементов из множества {‘A’, ‘B’, ‘C’}	А, А; А, В; А, С; В, В; В, С; С, С	AA, AB, AC, BB, BC, CC
Сочетания с повторениями из 3 элементов из множества {‘1’, ‘2’}	1, 1, 1; 1, 1, 2; 1, 2, 2; 2, 2, 2	111, 112, 122, 222
Сочетания с повторениями из 4 элементов из множества {‘X’, ‘Y’, ‘Z’}	X, X, X, Y; X, X, X, Z; X, X, Y, Y; X, X, Y, Z; X, X, Z, Z; X, Y, Y, Y; X, Y, Y, Z; X, Y, Z, Z; X, Z, Z, Z; Y, Y, Y, Y; Y, Y, Y, Z; Y, Y, Z, Z; Y, Z, Z, Z; Z, Z, Z, Z	XXXY, XXXZ, XXYY, XXYZ, XXZZ, XYYY, XYYZ, XYZZ, XZZZ, YYYY, YYYZ, YYZZ, YZZZ, ZZZZ

Как можно видеть из примеров, сочетания с повторениями позволяют получать различные комбинации из заданных элементов. Этот инструмент широко используется при решении задач, связанных с перебором, комбинаторикой и вероятностными расчетами.