Рациональные числа: определение, свойства и примеры

Что такое математическая разность

В математике под понятием «разность» понимается операция, которая предполагает вычитание одного числа из другого. Например, если у нас есть число 7, а мы вычитаем из него число 3, то получаем разность равную 4.

Математическую разность можно обозначить специальным знаком «-«, который применяется между вычитаемым и вычитателем. Если мы продолжим пример с числами 7 и 3, то математическая разность будет записана следующим образом: 7 — 3 = 4.

В зависимости от контекста, математическую разность можно использовать для решения различных задач. Например, при работе с графиками функций, математическая разность может быть использована для определения изменения значений функции в различных точках.

Стоит отметить, что математическая разность может применяться не только к целым числам, но и к числам с плавающей точкой (дробям). В таком случае, результат разности будет также являться числом с плавающей точкой.

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

• сложение,
• вычитание,
• умножение,
• деление.

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

• сумма — результат, получившийся при сложении чисел,
• разность — результат, получившийся при вычитании чисел,
• произведение — результат умножения чисел,
• частное — результат деления.

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

• сумма — прибавить,
• разность — отнять,
• произведение — умножить,
• частное — разделить.

Разность в математике

Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

• Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
• Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
• Это вычитание одного числа из другого.
• Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
• Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
• Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
• Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
• Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.

И все эти определения являются верными.

Как найти разницу величин

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

• Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
• Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

• Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
• Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Рациональные числа в Python

Рассмотрим примеры рациональных чисел и их свойств на языке Python. В питоне есть специальный модуль fractions, который позволяет нам работать с рациональными числами, а в нём класс Fraction, являющийся реализацией дробного значения.

Ну что ж, за дело. Для начала импортируем класс Fraction из модуля fractions, чтобы мы могли им пользоваться:

Теперь разберём, как работает этот класс. При создании объекта Fraction в конструктор можно передать:

• два значения, где первое — это числитель, а второе — знаменатель (переменная a);
• дробное значение в виде строки (переменная b);
• вещественное значение (переменная c);
• другой Fraction, так как Fraction и является реализацией рационального дробного значения (переменная d).

Видно, что значение переменных Fraction при выводе показывает дробный вид рационального числа 0,5, а во второй строке вывода при приведении значения ½ к float, получим его вещественное представление.

Поменяем значения переменных и пройдёмся по свойствам рациональных чисел, взяв отрицательную дробь -¾, дробь ⅔ (с бесконечным периодом) и целое число 10:

Возьмём сочетательное свойство сложения и применим формулу (a + b) + c = a + (b + c), дабы убедиться, что значения будут равны, а также приведём вид дробей к float:

Как можно заметить, значения одинаковые, а при выводе в вещественном виде у нас получается число с бесконечным периодом 6. А как мы уже говорили выше, такие числа также относятся к рациональным.

Проделаем ту же операцию по формуле распределительного свойства умножения:

Значения получились равные, но можно заметить, что при приведении к вещественному виду период рационального числа нарушается — 3 в конце заменяется на 4. Это происходит в силу особенностей вычислений в языке Python. Если мы на листе бумаги разделим 5 на 6, то получим 0,8333…, где 3 будет повторяться до бесконечности.

И напоследок разберём случай с делением рациональных чисел с использованием переместительного свойства. Для начала разделим a на b. Теперь поменяем операнды местами и посмотрим, что получится. Для этого умножаем a на дробь 1/b, подставив в качестве второго операнда класс Fraction, который и реализует эту дробь. Вуаля:

Полуразность и шкала чисел

Полуразность двух чисел обозначает насколько одно число больше или меньше другого. Она показывает разницу между числами в виде модуля. Для нахождения полуразности двух чисел необходимо сначала найти их разность, а затем взять модуль этой разности. Например, полуразность чисел 5 и 2 будет равна 3, так как разность между ними равна 3 и ее модуль также равен 3.

Полуразность чисел может быть как положительной, так и отрицательной. Если первое число больше второго, то полуразность будет положительной. Если первое число меньше второго, то полуразность будет отрицательной. Например, полуразность чисел 3 и 5 будет равна -2, так как разность между ними равна -2 и ее модуль также равен 2.

Для более наглядного представления полуразности чисел можно использовать шкалу чисел. Шкала чисел представляет собой линейку, на которой отмечены различные значения чисел с помощью точек или стрелок. Полуразность чисел на шкале может быть отображена с помощью отрезков между соответствующими точками. Например, для полуразности чисел 5 и 2 на шкале будет изображен отрезок длиной 3 единицы. Если полуразность отрицательная, то отрезок будет направлен влево, а если полуразность положительная, то отрезок будет направлен вправо.

Второе число	5
Первое число	2
Полуразность	3

Использование шкалы чисел при изучении полуразности помогает учащимся визуализировать разницу между числами и более точно представить себе понятие полуразности. Это может быть полезно при решении задач и работы с выражениями, где необходимо учитывать величину полуразности чисел.

Определение и примеры рациональных чисел

В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа , подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа , противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.

Начнем с

определения рациональных чисел

, которое воспринимается наиболее естественно.

Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:

• Любое натуральное число n
  . Действительно, можно представить любое натуральное число в виде обыкновенной дроби , например, 3=3/1
  .
• Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1
  , .
• Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.
• Любое смешанное число . Действительно, всегда можно представить

  смешанное число

  в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и .

• Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь . Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, , а 0,(3)=1/3
  .

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая

десятичная дробь

НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

Теперь мы можем с легкостью привести

примеры рациональных чисел

. Числа 4
, 903
, 100 321
– это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58
, −72
, 0
, −833 333 333
тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9
, 99/3
, — это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .

Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а

рациональное число

нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.

Определение.

Рациональными числами

называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n
, где z
– целое число, а n
– натуральное число.

Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления , тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.

Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на

данном определении

. Числа −5
, 0
, 3
, и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.

Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.

Определение.

Рациональные числа

– это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.

Например, числа 5
, 0
, −13
, представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0
, 0,0
, −13,0
, 0,8
и −7,(18)
.

Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:

• целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;
• каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Основные понятия арифметики

Прежде чем разобраться в определении разности чисел, напомним понятия арифметики и натуральных чисел.

Арифметикой называется наука о числах. Эта наука возникла так же, как и другие науки в результате появления специальных потребностей в практической деятельности людей. Много тысячелетий назад людям было необходимо научиться считать количество добычи, вести счёт времени и делать другие математические действия. Изначально люди пользовались только натуральными числами, то есть числами, которыми можно перечислить какие-либо предметы в строго определённом порядке: $1$ (один), $ 2$ (два), $3$ (три), $4$ (четыре), $5$ (пять), $6$ (шесть) и т.д. При устной и письменной нумерации мы пользуемся только натуральными числами.

Нужно уметь определять разницу между цифрами и числами. Цифрами называют десять символов $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Эти символы называют арабскими цифрами, так как первая книга по арифметике «Арифметика Индорум» с использованием этих символов была написаны на арабском языке. Также эти цифры называют индийскими, так как автор книги использовал нумерацию из практики вычислителей Индии.

Статья: Определение разности чисел

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

С помощью цифр записывают числа.

Применение полуразности чисел в практике

Понятие полуразности чисел находит широкое применение в различных областях практики. Рассмотрим несколько примеров.

1. Финансовая аналитика: Полуразность чисел может быть использована для вычисления изменения процентного соотношения между двумя значениями. Например, можно расчитать, на сколько процентов увеличилась прибыль компании с одного года на другой.
2. Статистика: Полуразность чисел может использоваться для анализа данных и выявления трендов. Например, можно вычислить полуразность между значениями показателя в разные периоды времени и определить, увеличивается ли или уменьшается данный показатель с течением времени.
3. Маркетинг: Полуразность чисел может быть полезна при анализе эффективности рекламных кампаний. Например, можно вычислить полуразность между количеством кликов на рекламный баннер до и после проведения определенных мероприятий и определить, какое изменение получилось в результате этих мероприятий.
4. Прогнозирование: Полуразность чисел может быть использована для предсказания будущих значений показателей на основе имеющихся данных. Например, поиск полуразности между значениями показателя в разные периоды времени позволяет определить, какой будет следующее значение этого показателя.

Таким образом, полуразность чисел является важным инструментом в анализе данных и принятии решений в различных областях. Ее использование позволяет выявить и оценить изменения величин и тренды, а также прогнозировать будущие значения показателей.

Недесятичные системы счисления

Мы рассмотрели много примеров определения разности в десятичной системе исчисления, которая наиболее нам привычна в повседневной жизни. Поясним, что означает понятие десятичной системы исчисления.

В зависимости от занимаемого цифрой места, она означает то или иное число: количество единиц, десятков, сотен и т.д. Места цифр называют в математике разрядами. То есть, в числе $6083$ имеется $3$ единицы первого разряда, $8$ единиц — второго, $0$ — третьего (то есть отсутствие единиц), $6$ — четвертого. То есть это число можно записать так: $6083=6000+80+3$ или $6083=6\cdot 10^3+8\cdot 10+3$.

Десятичная система исчисления называется так, потому что по этой системе десять единиц одного разряда составляют единицу следующего высшего разряда. Иначе говорят, что основанием десятичной системы счисления является число $10$. В глубокой древности люди выбрали основной именно десятичную систему счисления, так как всем привычнее считать по десяти пальцам на руках.

Существуют и другие системы счисления, недесятичные. Например, основанием системы счисления может быть $8$. Тогда говорят о восьмеричной системе счисления. В этом случае достаточно восьми цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Таким образом, возможны также двоичная, троичная, пятеричная, двенадцатеричная, шестнадцатеричная и другие системы счисления. Основанием системы счисления может быть любое натуральное число, которое больше $1$.

Чтобы при письме отличать числа, относящиеся к различным системам, их записывают так: $325_{(8)}, 100_{(2)}, 322_{(16)}$. Расшифруем эти записи:

$325_{(8)} = 3\cdot 8^2+2\cdot 8 + 5$,

$100_{(2)} = 1\cdot 2^2+0\cdot 2 + 0$,

$322_{(16)} = 3\cdot 16^2+2\cdot 16 + 2$.

Каждая цифра, означающая определённый разряд, называется систематическим числом. Арифметические действия можно осуществлять и над систематическими числами. Вычитание с систематическими числами похоже на вычитание в десятичной системе. Для наглядности рассмотрим пример.

Пример 3

Задача. Определить разность $3412_{(8)}-112_{(8)}$.

Решение. Вычитание будет производиться по степени возрастания разрядов.

Разряд 1. Из двух единиц первого разряда отнимаем две единицы первого разряда. Это $0$.

Разряд 2. Из одной единицы второго разряда отнимаем одну единицу второго разряда. Это тоже $0$.

Разряд 3. Из четырёх единиц третьего разряда отнимаем одну единицу третьего разряда. Это $3$.

Разряд 4. У второго числа нет четвёртого разряда. Поэтому в ответе на месте четвёртого разряда запишем такой же разряд, какой есть у уменьшаемого числа.

Ответ. $3300_{(8)}$.

Подведём итог. В данной статье мы рассмотрели суть определения разности (или вычитания) натуральных чисел, рассмотрели основные понятия данного арифметического действия. Стоит отметить, что определение разности возможно также с дробными числами, рациональными числами и иррациональными числами.

Определение полуразности

Полуразность находит применение во многих областях знания. Она используется в философии для анализа понятий, в лингвистике для изучения семантики слов и фраз, и в психологии для изучения категоризации и ассоциаций. Принципы полуразности также применяются в информационных технологиях, в частности, в алгоритмах машинного обучения и распознавания образов.

Основные характеристики полуразности: частичное совпадение, отсутствие полного совпадения, взаимосвязь между понятиями, общность содержания. Полуразность не является абсолютным понятием, и ее интерпретация может различаться в зависимости от контекста и целей исследования.

Понятие и основные характеристики

Основная идея полуразности состоит в том, что она определяет схожесть или различие между объектами или понятиями. При этом полуразность является относительной и может быть интерпретирована по-разному в разных контекстах.

Полуразность может быть применена в различных областях знания, включая философию, психологию, социологию и другие. Это понятие позволяет анализировать отношения между объектами и классифицировать их согласно их схожести.

Основными характеристиками полуразности являются:

• Субъективность — восприятие полуразности может зависеть от контекста, в котором она используется, и от субъективного мнения наблюдателя.
• Относительность — полуразность может быть интерпретирована по-разному в разных контекстах и относительно разных критериев.
• Классификация — полуразность позволяет классифицировать объекты на основе их схожести или различия.
• Контекстуальность — полуразность должна рассматриваться в контексте, учитывая специфические особенности объектов и понятий, которые она описывает.

В итоге, понятие полуразности является инструментом для анализа отношений между объектами и позволяет систематизировать знания в различных областях.

Примеры полуразности

Пример 2: Еще одним примером полуразности может служить понятие «городская сельская местность». Оно описывает зону, которая находится на пересечении городской и сельской окружающей среды. В этой зоне можно наблюдать признаки и города, и сельской местности, но они не являются полностью противоположными друг другу.

Пример 3: Полуразность можно использовать и в более абстрактных понятиях. Например, понятие «историческая современность» описывает период времени, который находится между прошлым и будущим. Этот период характеризуется как аспектами прошлого, так и современности, а значит, можно говорить о полуразности данного понятия.

Пример 4: В музыке также можно встретить примеры полуразности. Например, понятие «мажорно-минорная тональность» описывает состояние, когда мажорная тональность переходит в минорную или наоборот. Это некий переходный момент, который можно назвать полуразностью.

Пример 5: Полуразность можно использовать для описания состояний человека или его эмоций. Например, понятие «серьезно-шуточный» описывает состояние, когда человек смешивает серьезность и юмор. Это некое среднее состояние, которое можно назвать полуразностью.

Примеры нахождения

Пример 1. Найти разницу двух величин.
Дано: 20 — уменьшаемое, 15 — вычитаемое.
Решение: 20 — 15 = 5
Ответ: 5 — разница величин.

Пример 2. Найти уменьшаемое.
Дано: 48 — разность, 32 — вычитаемое значение.
Решение: 32 + 48 = 80
Ответ: 80.

Пример 3. Найти вычитаемое значение.
Дано: 7 — разность, 17 — уменьшаемая величина.
Решение: 17 — 7 = 10
Ответ: 10.

И немного более сложных примеров, ведь в математике зачастую высчитывают разность с использованием не только двух, но и гораздо большего количества компонентов, в которых могут быть к тому же не только лишь целые числа, но и дробные, рациональные, иррациональные числа.

Пример 4. Найти разницу трех значений.
Даны целые значения: 56, 12, 4.
56 — уменьшаемое значение, 12 и 4 — вычитаемые значения.
Решение можно выполнить двумя способами.
1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):
1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);
2) 44 — 4 = 40.
2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми);
1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);
2) 56 — 16 = 40.
Ответ: 40 — разница трех значений.

Пример 5. Найти разницу величин 7 и 18.
Дано: 7 — уменьшаемое значение, 18 — вычитаемое.
Вроде все просто, но ведь вычитаемое у нас больше уменьшаемого, как быть в таком случае? В таком случае действует следующее правило: если вычитаемое больше уменьшаемого, то разность окажется отрицательной или другими словами, она будет числом со знаком минус.
Решение: 7 — 18 = —11
Ответ: —11 — отрицательное число со знаком минус.

Схожі записи:

Под знаком интеграла – математическая пьеса

Рассказ о необыкновенных вычислениях

Электронный скальд: о связи математики и поэзии

Блестящая непопулярность математики

Совершенные числа

Вычитание и разность

Определение разности чисел происходит вследствие такого арифметического действия как вычитание. Для начала, дадим определение арифметическому действию:

Определение 1

Арифметическое действие — это такой процесс, в результате которого по двум данным числам получают третье, удовлетворяющее некоторым условиям.

Выделяют четыре арифметических действия:

• сложение;
• вычитание;
• умножение;
• деление.

Сложение и вычитание — это обратные друг другу действия. Напомним, что означает сложение.

Сложение — это действие, в результате которого получается определённое число, состоящее из стольких единиц, сколько есть всего в данных ранее числах.

Складываемые числа называются слагаемыми. Результатом сложения слагаемых является их сумма. То есть сумма — это результат сложения. Знаком сложения является плюс, записывается так: $+$.

Пример 1

Пример записи сложения: $12+1 = 13$. Здесь $12$ и $1$ — это слагаемые, а $13$ — сумма.

Перейдём к определению вычитания. Как уже было сказано, вычитание является обратным действием сложения. Отсюда можем утверждать, что:

Определение 2

Вычитание — это такое арифметическое действие, в результате которого по одному данному слагаемому и данной сумме находится другое слагаемое. Вычитание обозначается знаком «$–$» (минус).

Разница со сложением состоит в том, что в сложении сумма является искомой, а при вычитании — данной. В случае вычитания данная сумма называется уменьшаемым числом. Слагаемое, по которому находится другое слагаемое, называется вычитаемым. Полученное число называют разностью. Из этой цепочки дадим определение разности.

Определение 3

Разность — это число, полученное в результате вычитания.

Пример 2

$29 – 11=18$.

$29$ — уменьшаемое, $11$ — вычитаемое, $18$ — разность.

В множестве натуральных чисел вычитание возможно только если уменьшаемое больше вычитаемого. В свою очередь, сложение натуральных чисел выполняется всегда, то есть с любыми натуральными числами.

Особенности действий с $0$:

1. Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа: $13+0=13, 0+14=14, 0+0=0$.
2. Вычитание нуля из уменьшаемого числа не изменяет этого числа: $9–0=9$.
3. Если уменьшаемое число равно вычитаемому, то разность равна нулю: $10–10=0$.

Интересно узнать, что несколько столетий назад в России сложение имело термин «аддиция», а вычитание — «субстракцио».

Правила полуразности чисел

Правило полуразности чисел можно сформулировать следующим образом:

1. Если полуразность числа отрицательна, то ее модуль равен разности модулей исходных чисел.
2. Если полуразность числа положительна, то ее модуль равен сумме модулей исходных чисел.

Другими словами, полуразность двух чисел будет отрицательна, если первое число меньше второго. В этом случае, модуль полуразности будет равен разности модулей этих чисел.

Если же первое число больше второго, то полуразность будет положительной, и модуль полуразности будет равен сумме модулей этих чисел.

Рассмотрим примеры:

Даны числа 5 и 3. Полуразность этих чисел равна 2, так как первое число больше второго. Модуль полуразности равен 2, что равно сумме модулей исходных чисел.

Даны числа -7 и 3. Полуразность этих чисел равна -10, так как первое число меньше второго. Модуль полуразности равен 10, что равно разности модулей исходных чисел.

Таким образом, правила полуразности чисел позволяют легко определить значение и знак полуразности двух чисел, используя информацию о значениях исходных чисел.