Алгоритмы перевода в системы счисления по разным основаниям
Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную
- Представить число в развернутой форме. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.
- Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.
Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую
- Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.
- Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
- Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.
Алгоритм перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в любую другую
- Последовательно умножаем данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.
- Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
- Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Алгоритм перевода произвольных чисел из десятичной системы счисления в любую другую
Перевод произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную часть, осуществляется в два этапа:
- Отдельно переводится целая часть.
- Отдельно переводится дробная.
- В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием q=2n
Для облегчения решения задач заполним следующую таблицу:
| Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
Если основание q-ричной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ричной систему счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам.
- Двоичное число разбить справа налево на группы по n в каждой.
- Если в левой последней группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
- Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n
Двоичная арифметика
Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам.
Сложение
Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления
В основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
0+0=00+1=11+0=11+1=101+1+1=11
Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или больше основания системы счисления. Для двоичной системы счисления эта величина равна двум. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствие с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов с старшие.
Для двоичной системы счисления эта величина равна двум. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствие с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов с старшие.
Вычитание
Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначается 1 с чертой.
0-0=00-1=111-0=11-1=0
Умножение
В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:
0*0=00*1=01*0=01*1=1
Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с приведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Деление
Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.
Что такое системы счисления
Системой счисления называется система записи чисел с помощью знаков по определенным правилам.
Символы, с помощью которых записываются числовые значения, обычно называют цифрами, а все вместе знаки системы счисления образуют алфавит. Количество знаков, используемых для обозначения чисел, называется основанием системы счисления.
Приведем примеры чисел систем счисления с различным основанием.
Основная десятичная система, привычная и общеупотребимая, имеет десять символов для обозначения всех чисел, то есть ее основание равно 10. Символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 представляют собой цифры. После цифры 9 в числовом ряду идет двузначное 10. При этом происходит сдвиг разрядной сетки числа влево на один разряд.
Десятичная система использует арабские цифры. Предположительно арабская система записи чисел возникла в Индии. Индийскую систему записи чисел описал Аль Хорезми в своем трактате «Об индийском счете».
Рис. 1. Портрет Аль Хорезми.
Системы счисления в информатике не ограничиваются применением десятичных цифр, самыми распространенными системами являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
В двоичной системе счисления все просто. Основание равно 2. Обозначение чисел выполняется только двумя символами 0 и 1.
Восьмеричная система использует 8 знаков для обозначения чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
И числовой ряд восьмеричных чисел выглядит так: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12 … Следует обратить внимание, что после 7 идет двузначное число 10, так как знаков всего восемь и происходит сдвиг разрядной сетки
Шестнадцатеричная система имеет основание 16. Она применяет в качестве символов арабские цифры от 0 до 9 и затем буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F. В числовом ряду шестнадцатеричных чисел после 9 идет А, а после F идет 10.
Тогда возникает вопрос, как определить, в какой системе счисления, например число 107. Цифры 0, 1, 7 используются как в восьмеричной, так и в десятичной и шестнадцатеричной системе счисления. Для того чтобы различать системы, существует специальное обозначение систем счисления. Числа помечаются индексом с основанием системы. Так, 1078 – это восьмеричное число, 10710 – десятичное число, 10716 – шестнадцатеричное число.
в истории существуют примеры использования и других систем счисления. Так, некоторые коренные культуры Африки и Австралии используют двоичные и троичные системы. Индейцы Юки пользуются четверичной системой счисления, пятеричная система счисления распространена больше (по количеству пальцев на руке), ее элементы встречаются у древних персов и ацтеков, у индейцев племени Таманакос. У древних Шумеров использовалась шестидесятеричная система счисления, разбивка часа на 60 минут и минуты на 60 секунд, вероятно, отголоски этой системы.
Разбор 10 задания ОГЭ по информатике
Актуальное
Решение задания 10.3. Демонстрационный вариант ОГЭ 2022 г.
Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.
2316, 328, 111102
Решение:
10 23 = 2*161 + 3*16 = 35
Первое число = 35.
10 32 = 3*81 + 2*8 = 26
Второе число = 26.
11110 = 1*24 + 1*23 + 1*22 + 1*21 + 0 = 30
Треть число = 30. Наибольшее число — 35
Ответ: 35
Тренировочные
Решение задания 10.1:
Переведите число 120 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. В ответе укажите двоичное число.
Решение:
рез-т остаток
120 | 60 | 0
60 | 30 | 0
30 | 15 | 0
15 | 7 | 1
7 | 3 | 1
3 | 1 | 1
Перепишем все остатки снизу вверх, не забыв последний делитель 1!
Получим двоичное число: 1111000
Ответ: 1111000
Решение задания 10.2:
Переведите двоичное число 1101010 в десятичную систему счисления. В ответе укажите десятичное число.
Решение:
6432168421 1 1 0 1 0 1 0
Рассчитаем сумму тех степеней двоек, которые находятся над единичными разрядами:
64 + 32 + 8 + 2 = 106
Получим десятичное число: 106
Ответ: 106
Решение задания 10.4:
Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 2AC116?
Решение:
- В шестнадцатеричной с-ме счисления числа от 10 до 15 представлены буквами латинского алфавита: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15.
- Необходимо вспомнить двоичные коды чисел от 1 до 15 (см. теорию выше на странице), так как для перевода 16-ричного в двоичную с-му достаточно каждую цифру отдельно записать в виде четверки двоичных цифр (тетрады):
2 A C 1 0010 1010 1100 0001
в этой записи 6 единиц
Результат: 6
Подробный разбор 10 задания с объяснением просмотрите на видео:
Видео youTube
Решение задания 10.4:
Сколько существует целых чисел x, для которых выполняется неравенство 2A16<x<618?
В ответе укажите только количество чисел.
Решение:
2A16 = 2*161+10*16 = 32 + 10 = 42
Переведем 618 в десятичную с-му счисления:
618 = 6*81+1*8 = 48 + 1 = 49
Получим сравнение:
42
Поскольку в задании дважды строгое сравнение (), то количество целых, удовлетворяющих условию:
49 - 42 - 1 = 6
Проверим: 43, 44, 45, 46, 47, 48
Результат: 6
Подробное решение данного 1 задания из демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:
Видео youTube
Решение задания 10.5:Вычислите значение выражения AE16 – 1916.
В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.
Решение:
1 0 A E = 10*161 + 14*16 = 160 + 14 = 174 * A16 соответствует числу 10 в десятичной системе счисления * E16 соответствует числу 14 в десятичной системе счисления
1 0 19 = 1*161 + 9*16 = 16 + 9 = 25
Найдем разность:
174 - 25 = 149
Результат: 149
Классификация систем счисления
Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.
Позиционные системы счисления
Позиционные системы счисления (СС) — это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры (её вес) зависит от ее положения (позиции) в записи числа. Путем долгого развития человечество пришло к созданию позиционного принципа записи чисел, который состоит в том, что каждая цифра, содержащаяся в записи числа, занимает определенное место, называемое разрядом. Отсчет разрядов производится справа налево. Единица каждого следующего разряда всегда превосходит единицу предыдущего разряда в определенное число раз. Это отношение носит название основание системы счисления (у непозиционных систем счисления понятия «разряда» и «основания» отсутствуют).Например:число 237 состоит из 3 цифр. Понятно, что отдельно взятая цифра 7 больше чем цифра 2. Однако, в составе числа, двойка стоит на позиции сотен, а семёрка — на позиции единиц, поэтому количественное представление двойки — две сотни, или двести, а семёрка — всё та же семь.Многие, кроме десятичной СС, о других позиционных системах не имеют представления, хотя и часто ими пользуются. Например:
- шестидесятиричная (Древний Вавилон) — первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);
- двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 — «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава — всего 12;
В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.Общее свойство всех позиционных систем счисления: при каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления.Достоинства позиционных систем счисления:
- в позиционных системах счисления устранены все недостатки непозиционных:
- в них можно записать любое число (как натуральное, таки действительное);
- запись чисел компактна и удобна;
- благодаря поразрядной организации записи чисел с ними легко проводить математические операции.
Непозиционные системы счисления
В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. Например: Римская система счисления.Из многочисленных представителей этой группы в настоящее время сохранила свое значение лишь римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:
| I | V | X | L | С | D | М |
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
С их помощью можно записывать натуральные числа. Например, число 1995 будет представлено, как MCMXCV (М-1000,СМ-900,ХС-90 и V-5).Правила записи чисел в римской системе счисления:
- если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI – 6 (5+1);
- если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL — 40 (50-10), XXL – нельзя;
- цифры М, С, Х, I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;
- цифры D, L, V могут использоваться в записи числа только по одному разу.
Например, запись XXX обозначает число 30, состоящее из трех цифр X, каждая из которых, независимо от места ее положения в записи числа, равна 10. Запись MCXX1V обозначает 1124, а самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число MMMCMXCIX (3999). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить все новые обозначения. По этой причине, а также по причине отсутствия цифры ноль, римская система счисления не годится для записи действительных чисел.Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных систем счисления:
- в них нельзя записать любое число;
- запись чисел обычно громоздка и неудобна;
- математические операции над ними крайне затруднены.
Уравнения
Вспомните, как называется равенство, которое содержит неизвестное число?
Правильно, уравнение!
Неизвестное число мы обозначаем латинской буквой. Я знаю много латинских букв. А вы?
Буквы латинского алфавита
|
a |
|
|
b |
|
|
c |
|
|
d |
|
|
k |
|
|
x |
|
|
у |
Из чисел 2, 5, 8, 11 выберите для каждого уравнения такое значение х, у, b, а, при котором получится верное равенство (подбором).
|
18-х=10 |
2+у=7 |
b-9=2 |
a+8=10 |
Четвертый секрет: «Пользуйтесь моими секретными формулами! Они помогут вам без ошибок решать уравнения».
Есть уравнения, которые подбором решить сложно. Например, у+6=92 или а-20=31.
Нам на помощь придут секретные формулы!
|
С1=С-С2 |
С2=С-С1 |
У=Р+В |
В=У-Р |
Чтобы их расшифровать, нужно вспомнить, как называются числа при сложении, при вычитании.
|
С1 – первое слагаемое С2 – второе слагаемое С – сумма |
У – уменьшаемое В – вычитаемое Р – разность |
!Зная эти правила, вы будете решать уравнения без ошибок.
Решим уравнение с объяснением: у+6=92
Это уравнение с неизвестным первым слагаемым. Применяем мою секретную формулу. С1=С-С2
Для нахождения неизвестного слагаемого из значения суммы вычтем известное слагаемое: 92-6.
у=92-6
у=86
Сделаем проверку. Слово «проверка» заменим чертой (так гораздо быстрее). Вместо у (игрек) запишем число 86. Найдем значение выражения 86+6. В левой части уравнения получим 92. В правой части – тоже 92. Делаем вывод: «Уравнение решили верно». Запись решения будет выглядеть так:
у+6=92
у=92-6
у=86
86+6=92
92=92
Поработаем еще над одним уравнением: а-20=31
В нем неизвестно уменьшаемое. Применяем секретную формулу У=Р+В.
Для нахождения неизвестного уменьшаемого к значению разности прибавим вычитаемое.
а-20=31
а=31+20
а=51
51-20=31
31=31
Объясни, как выполнили проверку.
window.yaContextCb.push(()=>{ Ya.Context.AdvManager.render({ renderTo: ‘yandex_rtb_R-A-483726-24’, blockId: ‘R-A-483726-24’ }) })
Задание 4. Ребята, применяя формулу В=У-Р, попробуйте самостоятельно решить уравнение 74-с=50.
Правильный ответ в конце урока!
Вы прекрасно потрудились. Напоследок предлагаю вам решить задачу на смекалку.
Задание 5. «У Незнайки есть карандаши, ручки и фломастеры. Карандашей больше, чем ручек, но меньше, чем фломастеров. Каких принадлежностей для рисования у Незнайки больше всего?».
Ответ в конце урока!
Вот и подошел к концу наш урок. Надеюсь, что вы, ребята, запомнили мои математические секреты. Они обязательно помогут вам овладеть интересной и увлекательной наукой математикой. Как вы думаете, какой подсказкой должен воспользоваться Незнайка, чтобы решить пример, о котором он написал в письме? До скорой встречи!
Ответы на задачи:
Задание 1.
1. а) 23, б) 55, в) 70.
2. 86, 90, 41.
3. 35=30+5
91=90+1
86=80+6
4. 90, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10
Задание 2.
55, 80, 65, 16, 26, 24
Задание 3.
10+8=18
10+12=22
10+26=36
Задание 4.
74-с=50
с=74-50
с=24
74-24=50
50=50
Задание 5.
У Незнайки больше всего фломастеров.
Двоичная (бинарная) система счисления
Двоичная (или бинарная) система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2.
Принцип считать двумя цифрами берёт своё начало ещё в Древнем Китае. Но развитие современной бинарной системы началось в XVII веке, а применение нашлось только в середине XX века.
История двоичной системы счисления
В 1605 году английский астроном и математик Томас Хэрриот описал двоичное представление чисел, а философ Фрэнсис Бэкон создал шифр из двух символов — A и B.
В 1670 году испанский богослужитель Хуан Карамюэль-и-Лобковиц опубликовал представление чисел в разных системах счисления, в том числе и двоичной.
Но самым значительным событием стали работы немецкого математика Готфрида Лейбница, который в 1703 году описал двоичную арифметику — математические операции с двоичными числами.
В 1838 году американский изобретатель Сэмюэл Морзе создал одноимённый шифр, содержащий два символа: «точка» и «тире». Их можно было передавать по телеграфу в виде длинных и коротких сигналов. Азбука Морзе не была бинарной системой в строгом смысле слова, но двоичный принцип впервые показал свою значимость.
В 1847 английский математик Джордж Буль изобрёл «булеву алгебру», в которой было два понятия («ложь» и «истина»), а также ряд логических законов.
В 1937 году американский инженер Клод Шеннон объединил бинарный принцип, булеву логику и электрические схемы и ввёл понятие «бит» — минимальное количество информации:
- — ложь — нет тока (0 бит);
- 1 — истина — есть ток (1 бит).
С тех пор двоичную (бинарную) систему счисления стали использовать все ЭВМ, в том числе и современные компьютеры.
Числа в двоичной системе счисления
Двоичное число — это число, состоящее из двоичных цифр. А у нас их всего две. Принято обозначать и 1, но, как показала практика, это могут быть и два разных значения: «лампа горит» и «лампа не горит», «ток» и «нет тока» и так далее.
В следующей таблице приведены числа в двоичной системе (зелёный столбец) и соответствующие им числа в других часто используемых системах счисления — восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной.
Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media
Преимущества и недостатки двоичной (бинарной) системы счисления
Явные минусы двоичной системы обусловлены тем, что на интуитивном уровне людям она чужда — в отличие, например, от десятичной. И это — первый недостаток. Пройдёмся по остальным:
Длинная запись, неудобство с большими числами. Возьмём, к примеру, обозначение белого цвета в RGB-палитре: 25510, 25510, 25510 (здесь и далее нижний индекс указывает основание системы — двоичная, десятичная и так далее). Значения цветов принято записывать в шестнадцатеричной системе счисления (FF16, FF16, FF16). Если перевести это в бинарный вид, получится громоздко и непонятно:
Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media
- Долгое время ручных вычислений.
- Не применяется в повседневной жизни (если, конечно, вы не компьютер).
А вот для ЭВМ бинарочка — как родная. И отсюда следуют её плюсы:
- Позиционная система, имеет разряды.
- Применимы арифметические действия.
- Можно построить логику.
- Подходит для шифровки данных.
- Родной язык компьютерных систем.
Распространенные системы счисления в информатике
Практически все системы, которые используют в компьютерной технике, — позиционные и однородные. Как правило, у них четное основание, которое соответствует какой-либо из степеней двойки. Это связано с особенностями хранения данных в памяти компьютера. Рассмотрим три наиболее популярных в информатике системы счисления: двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
Двоичная. Это система с основанием 2 и алфавитом, который состоит всего из двух цифр — 0 и 1. Необходимость использовать двоичную систему появилась из-за того, как компьютеры представляют информацию: в виде бит. Бит может принимать только значение «0» или «1» — «тут нет единицы информации» или «тут есть единица информации».
- 0 означает ноль, отсутствие информации.
- 1 означает единицу, например записанную в какую-то ячейку памяти.
- Цифры 2 в системе нет. Если число достигает значения 2, оно переходит в другой разряд и записывается как 10 — одна двойка и ноль единиц. Соответственно, число 3 будет записываться как 11 — одна двойка и одна единица.
- Дальше разряды увеличиваются по тому же принципу. Число 4 — это 100, то есть две двойки и 0 единиц. Число 8 — 1000, и так далее. Каждая новая степень двойки — новый разряд.
Напрямую работать с двоичным, или бинарным кодом разработчикам приходится редко
Но для общего понимания важно знать, как устроена двоичная система. Именно в таком виде на самом глубоком уровне хранятся данные в компьютере — как последовательности из нулей и единиц
Восьмеричная. Эту систему используют чуть реже, чем двоичную и шестнадцатеричную. Чаще всего ее упоминание можно встретить при работе с низкоуровневыми языками программирования, которые близки к «железу» и способны обрабатывать данные напрямую. Компьютеры объединяют части бинарного кода в блоки по 8 двоичных цифр — байты. Отсюда появилась и необходимость работать с восьмеричной системой.
- Основа системы счисления — 8. Это значит, что от 0 до 7 цифры идут как обычно, а когда число доходит до 8, начинается другой разряд и число записывается как 10.
- Соответственно, число 9 будет записываться как 11, а число 10 — как 12.
- Число 16 в восьмеричной системе записывается как 20, потому что шестнадцать — это два раза по восемь. И так далее.
- Число 64 в восьмеричной системе будет выглядеть как 100, потому что это восемь раз по восемь.
Шестнадцатеричная. С этой системой счисления сталкиваются не только разработчики, но и, например, дизайнеры — в ней кодируются цвета RGB. Еще в этой системе записываются коды символов во многих кодировках. Основание шестнадцатеричной системы — число 16. Оно больше десяти, поэтому в алфавите появляются дополнительные цифры, которые обозначают буквами.
- От 0 до 9 цифры идут как обычно. Но на десяти разряд еще не меняется, поэтому для обозначения десятки нужна новая цифра. В качестве этой «цифры» используют латинскую букву A.
- Соответственно, «цифра» 11 — это B, 12 — C, и так далее до F, которая обозначает «цифру» 15.
- Когда счет доходит до шестнадцати, разряд меняется. Следующее число после F в шестнадцатеричной системе — 10.
- Числа в шестнадцатеричной системе выглядят меньше, чем в десятичной. Например, 100 в шестнадцатеричной системе — это 16 раз по 16, то есть 16 в квадрате. В десятичной системе это число 256.
- Цифры в виде букв могут встречаться в начале, конце или середине числа. Например, 1A — это 26. Единица обозначает один раз по шестнадцать, а A — «цифру» десять.
Разряды чисел
Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место — позицию. Место (позицию) в записи числа, на котором стоит цифра, называют разрядом.
Разряд числа — это позиция (место) цифры в записи числа.
Счёт разрядов идёт справа налево. То есть, первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа — цифрой второго разряда и т. д. Например, в первом классе числа 148 951 784 296, цифра 6 является цифрой первого разряда, 9 — цифра второго разряда, 2 — цифра третьего разряда:
Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иначе ещё называют разрядными единицами:
- Единицы называют единицами первого разряда (или простыми единицами) и пишутся на первом месте справа.
- Десятки — единицами второго разряда и пишутся в числе на втором месте справа.
- Сотни — единицами третьего разряда и пишутся на третьем месте справа.
- Единицы тысяч — единицами четвёртого разряда и пишутся на четвёртом месте справа.
- Десятки тысяч — единицами пятого разряда и пишутся на пятом месте справа.
- Сотни тысяч — единицами шестого разряда и пишутся в числе на шестом месте справа и так далее.
Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.
Пример. Запишите цифрами число, которое содержит:
1) 37 единиц второго класса и 565 единиц первого класса;
2) 450 единиц второго класса и 9 единиц первого класса;
3) 8 единиц второго класса и 50 единиц первого класса.
Решение:
1) 37 565;
2) 450 009;
3) 8 050.
Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называются составными единицами. Так, десяток, сотня, тысяча и т. д. — составные единицы. Каждые 10 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого) разряда:
| 10 единиц | = | 1 десяток; |
| 10 десятков | = | 1 сотня; |
| 10 сотен | = | 1 тысяча; |
| 10 тысяч | = | 1 десяток тысяч; |
| 10 десятков тысяч | = | 1 сотня тысяч; |
| 10 сотен тысяч | = | 1 тысяча тысяч (1 миллион); |
и так далее.
Любая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей её называется единицей высшего разряда, а по сравнению с единицей, большей её, называется единицей низшего разряда. Например, сотня является единицей высшего разряда относительно десятка и единицей низшего разряда относительно тысячи.
Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, надо отбросить все цифры, означающие единицы низших разрядов и прочитать число, выражаемое оставшимися цифрами.
Например, требуется узнать, сколько всего сотен содержится в числе 6284, т. е. сколько сотен заключается в тысячах и в сотнях данного числа вместе.
В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60. Всего, таким образом, в данном числе содержится 62 сотни.
Цифра в каком-нибудь разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.
Например, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:
24 527 — двадцать четыре тысячи пятьсот двадцать семь.
20 507 — двадцать тысяч пятьсот семь.