Аксиома разбиения (дополнительная)
Интуитивно эта аксиома вполне очевидна. Если две точки лежат по разные стороны от плоскости $\alpha $, то отрезок, соединяющий эти точки, неизбежно пересечёт плоскость $\alpha $. И наоборот: если точки лежат по одну сторону от плоскости $\alpha $, то отрезок, их соединяющий, не пересечёт эту плоскость.
На рисунке мы видим, что отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha $ в точке $M$, поскольку точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от $\alpha $. И наоборот: отрезок $AC$ не пересекает плоскость $\alpha $, поскольку точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от плоскости.
Здесь можно долго рассуждать, что плоскость $\alpha $ делит всё пространство на два полупространства. Что эта плоскость является границей для таких полупространств. Но это уже аналитическая геометрия и топология — сейчас не будем залезать в дебри.
Результаты использования ЧТД в учебе
ЧТД (Частично Традиционный Дидактический курс) по геометрии в 7 классе становится все более популярным методом обучения. Результаты его использования в учебном процессе свидетельствуют о его эффективности и пользе для учащихся.
Во-первых, использование ЧТД позволяет стимулировать интерес учеников к изучаемому предмету. Благодаря разнообразным и интерактивным заданиям, ученики активно участвуют в обучении и проявляют большую заинтересованность в получении знаний. Это помогает улучшить мотивацию и результаты учащихся.
Во-вторых, использование ЧТД позволяет более глубоко усваивать материал. Задания и упражнения, включенные в ЧТД по геометрии, позволяют учащимся применять полученные знания на практике. Это помогает лучше усвоить основные понятия и законы геометрии.
Кроме того, ЧТД позволяет развивать учебные навыки. Решение задач и выполнение упражнений требует логического мышления, аналитических способностей и умения работать с информацией. Это способствует развитию познавательных и интеллектуальных навыков учащихся.
Наконец, использование ЧТД обеспечивает более эффективную подготовку учащихся к экзаменам и контрольным работам. Благодаря систематическому и последовательному изучению материала, ученики получают достаточно времени для закрепления знаний и тренировки умений. Это помогает повысить успеваемость и достичь высоких результатов на оценках.
Таким образом, результаты использования ЧТД в учебе геометрии в 7 классе демонстрируют его эффективность в улучшении мотивации, усвоении материала, развитии учебных навыков и подготовке к экзаменам. Этот подход к обучению помогает ученикам лучше понять и применять геометрические концепции и достичь успеха в учебе.
Сравнение ЧТД с другими геометрическими фигурами
Основное отличие ЧТД от других четырехугольников заключается в том, что у него все стороны имеют разные длины, что является его основной характеристикой. В прямоугольнике, например, две стороны параллельные и равные, а у ромба все стороны равны. В ЧТД же мы имеем стороны разной длины.
Другие четырехугольники также имеют свои специфические свойства. Например, прямоугольник имеет прямые углы и равные диагонали, параллелограмм имеет параллельные противоположные стороны и равные противоположные углы, а ромб имеет равные диагонали и равные углы.
Сравнивая ЧТД с другими четырехугольниками, мы видим, что каждая из них имеет свои уникальные характеристики и свойства. ЧТД отличается от других тем, что его стороны не равны и не параллельны, и вместо этого он обладает своей уникальной формой и геометрическими свойствами.
- Прямоугольник:
- Две параллельные стороны
- Прямые углы
- Равные диагонали
- Параллелограмм:
- Параллельные противоположные стороны
- Равные противоположные углы
- Ромб:
- Равные стороны
- Равные диагонали
- Равные углы
- ЧТД:
- Все стороны разной длины
- Неравные диагонали
- Неравные углы
Таким образом, сравнение ЧТД с другими геометрическими фигурами позволяет нам лучше понять его уникальные характеристики и визуальные особенности.
Основные принципы ЧТД в геометрии
| Принцип 1: | В ЧТД используется особая система координат, называемая четырехточечной системой. Она состоит из четырех точек, называемых опорными точками. С помощью этих точек строится координатная плоскость, на которой определяются остальные точки. |
| Принцип 2: | Четырехточечная система координат обладает особыми свойствами. Например, прямые, параллельные одной из сторон координатной плоскости, не будут параллельны другой стороне. Это приводит к появлению новых свойств и закономерностей в геометрии. |
| Принцип 3: | В ЧТД вводятся дополнительные преобразования, такие как проекция и рефлексия. Они позволяют получать новые фигуры, основанные на исходных точках и прямых. Эти преобразования могут быть использованы для решения геометрических задач и построения сложных фигур. |
| Принцип 4: | ЧТД позволяет рассматривать особые фигуры, такие как треугольник в четырехточечной системе. Эти фигуры могут отличаться от классических фигур в евклидовой геометрии и иметь новые свойства. Изучение таких фигур позволяет расширить понимание геометрии и открыть новые математические закономерности. |
Все эти принципы ЧТД позволяют геометрикам рассматривать новые типы фигур и исследовать их свойства. Это помогает расширять наши знания о геометрии и применять их в практических сферах, таких как архитектура, инженерия и компьютерная графика.
Принципы использования ЧТД в геометрии
1. Углы и стороны: ЧТД имеет четыре угла и четыре стороны. По принципу углы и стороны ЧТД можно классифицировать на различные типы, такие как равносторонний, равнобедренный или произвольный.
2. Сумма углов: Согласно принципу суммы углов, сумма всех углов в ЧТД равна 360 градусов. Это обеспечивает базовое правило для измерения и определения углов в ЧТД.
3. Диагонали: Принцип использования диагоналей в ЧТД позволяет нам изучать их свойства и взаимосвязи. Диагонали ЧТД могут быть перпендикулярными, равными или иметь определенные углы между собой.
Принципы использования ЧТД в геометрии позволяют нам более глубоко изучать и понимать особенности этой геометрической фигуры. Они являются основой для анализа и решения задач, связанных с ЧТД, и помогают строить и описывать различные формы и структуры в геометрическом пространстве.
Практическое применение ЧТД в геометрии
1. Расчет площади и объема фигур: ЧТД позволяет использовать числовые данные для вычисления площади треугольников, прямоугольников, кругов и других форм. Также с помощью ЧТД можно рассчитывать объемы трехмерных фигур, таких как параллелепипеды, сферы и конусы.
2. Решение задач на подобие фигур: ЧТД используется для определения подобия фигур и решения связанных задач. Например, если две фигуры подобны, то соотношение их сторон и площадей будет одинаковым. Это позволяет использовать ЧТД для нахождения неизвестных величин в подобных фигурах.
3. Вычисление расстояний и углов: ЧТД также применяется для решения задач, связанных с нахождением расстояний между точками на плоскости или в пространстве, а также определением углов между линиями или плоскостями. Например, с помощью ЧТД можно рассчитать длину отрезка, пройденного точкой при движении по наклонной плоскости.
4. Построение графиков и диаграмм: ЧТД позволяет использовать числовые данные для построения графиков и диаграмм, которые помогают визуализировать геометрические объекты и вычисления. Такие визуализации могут быть полезны при решении задач и исследовании геометрических свойств.
5. Решение геометрических задач: ЧТД широко используется для решения различных геометрических задач, таких как нахождение площади треугольника по сторонам или определение смежных углов на пересекающихся линиях. Он позволяет использовать числовые данные и формулы для получения точных ответов.
Все эти примеры показывают, что ЧТД играет важную роль в геометрии и помогает применять математические принципы для повседневных практических задач.
Видео:Бестселлер Все правила по геометрии за 7 классСкачать
Нахождение углов
Как найти углы в прямоугольном треугольнике
Углы в прямоугольном треугольнике возможно найти при помощи двух универсальных способов, которые обрисованы выше, либо с помощью тригонометрических функций — косинуса, синуса, котангенса, тангенса.
Тригонометрические функции
Если даются две стороны, то возможно найти угол по данному алгоритму:
- нужно определить, какими являются стороны в отношении к прямому углу (гипотенуза или катет) и углу, который следует найти (противолежащий\прилежащий катету);
- нужно найти тригонометрическую функцию, подходящую по смыслу решения задачи;
- нужно найти значение тригонометрической функции, подставив все значения сторон;
- нужно вычислить угол с помощью обратной функции (арккосинус, арксинус и др).
Свойства и особенности ЧТД
Одно из свойств ЧТД заключается в том, что если матрица имеет $n$ собственных значений, то она имеет $n$ линейно независимых собственных векторов. Это делает ЧТД особенно полезной в решении различных задач, таких как нахождение собственных значений и векторов матрицы.
Особенностью ЧТД является то, что она позволяет упростить вычисления и анализ матриц. Приведение матрицы к диагональному виду делает ее структуру более понятной и упорядоченной. Кроме того, это дает возможность эффективно решать системы линейных уравнений, находить обратные матрицы, и выполнять другие операции с матрицами.
ЧТД является основной теоремой в теории Линейной алгебры и находит применение не только в геометрии, но и в таких областях, как физика, экономика, компьютерная графика и другие. Знание свойств и особенностей ЧТД представляет собой важный инструмент для изучения и понимания широкого спектра математических проблем и приложений.
Свойство 1 ЧТД
Согласно свойству 1 ЧТД, в параллелограммах, ромбах и квадратах, линии, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой пересечения торцевых диагоналей.
Свойство 1 ЧТД можно доказать с помощью метода подобия треугольников. При рассмотрении параллелограмма, возьмем две диагонали, соединяющие противоположные вершины. Затем рассмотрим треугольники, образованные этими диагоналями и сторонами параллелограмма.
Затем рассмотрим треугольники, образованные линиями, соединяющими середины сторон и середины диагоналей. Сравнивая эти треугольники, мы обнаружим, что они подобны (имеют одинаковые углы и пропорциональные стороны).
Свойство 2 ЧТД
В геометрии ЧТД (черта вокруг треугольника) обозначает отрезок, который образуется соединением середин сторон треугольника, и эта отрезки пересекаются в единой точке. ЧТД подразумевает тот факт, что различные ЧТД находятся друг вокруг одного и того же треугольника.
Свойство 2 ЧТД в геометрии утверждает, что сумма длин двух ЧТД, проведенных на плоскости, параллельной базе треугольника и проходящее через верхнюю вершину треугольника, равна длине третьей ЧТД, проведенной на плоскости, перпендикулярной базе треугольника и проходящей через верхнюю вершину. Или, иначе говоря, если мы соединим середину каждой стороны треугольника с верхней вершиной, то длины двух ЧТД на параллельной плоскости будут в сумме равны длине третьей ЧТД на перпендикулярной плоскости.
Свойство 2 ЧТД является следствием свойства 1 ЧТД, которое утверждает, что ЧТД на параллельных плоскостях равны между собой. Происхождение свойства 2 ЧТД в геометрии связано с исследованиями треугольников и их свойств. Множество геометров и математиков внесли свой вклад в изучение ЧТД и установление свойств. Свойство 2 ЧТД является одним из базовых свойств, которые применяются в различных задачах и доказательствах в геометрии.
Свойство 3 ЧТД
Если три прямые, проходящие через пары вершин двух треугольников, пересекаются в одной точке, то пересечения трех пар противоположных сторон этих треугольников лежат на одной прямой.
Или, другими словами, если вершины двух треугольников соотносятся таким образом, что прямые, соединяющие их, пересекаются в одной точке, то точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.
Свойство 3 ЧТД является следствием первых двух свойств Четырехточечной теоремы Дезарга и является крайне полезным в различных областях геометрии, например, при решении задач с подобными треугольниками или при доказательстве других геометрических теорем.
Аксиома плоскости (основная)
Другими словами, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость:
На рисунке точки $A$, $B$ и $C$ лежат на плоскости $\alpha $. Поскольку эти точки не лежат на одной прямой, они однозначно задают эту плоскость. Обычно её так и обозначают: плоскость $ABC$.
Простой пример из жизни — стул на трёх ножках. Такого количества опор достаточно, чтобы он не качался и не падал. Плоскость стула задаётся однозначно благодаря всего трём точкам опоры.
Мы будем постоянно использовать эту аксиому для доказательства и решения задач. Ведь если удастся задать плоскость, то мы сведём трёхмерную задачу к двухмерной. А это радикально упрощает рассуждения.
Решение задач
Аксиомы стереометрии часто применяются в доказательствах. И ещё в задачах с открытыми вопросами. Вот пример такой задачи:
Задача 1. Окружность и плоскость
Решение. Легко заметить, что ответ зависит от взаимного расположения точек $M$, $N$ и $O$.
Допустим, что все они лежат на одной прямой. Тогда $MN$ — диаметр, и вся окружность может как лежать в плоскости $\alpha $, так и не лежать в ней. Вот пример когда окружность не лежит в плоскости:
Пусть теперь точки $M$, $N$ и $O$ не лежат на одно прямой. По Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке) эти точки однозначно задают плоскость. Эта плоскость совпадает с плоскостью $\alpha $.
А поскольку окружность — плоская фигура, то остальные её точки также принадлежат плоскости $\alpha $:
Задача 2. Неравильный рисунок
Решение. Соединим точки $M$ и $K$ прямой $l$:
Мы видим, что точка $B\notin l$. Поэтому точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой. И согласно Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке), эти точки однозначно задают плоскость.
С одной стороны, мы видим по рисунку, что это плоскость $\alpha $. С другой стороны, параллелограмм — плоская фигура, поэтому точки $M$, $B$, $K$ лежат ещё и в плоскости параллелограмма. А это значит, что плоскости $\alpha $ и $ABCD$ должны совпадать, чего на рисунке не происходит.
Есть и другой способ показать, что рисунок некорректен. По условию задачи, точки $M$, $B$, $K$ являются общими для плоскости $\alpha $ и плоскости $ABCD$. Согласно Аксиоме пересечения плоскостей (Аксиома 5 в нашем списке), все эти точки должны лежать на одной прямой.
Однако простое построение показывает, что точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой, что противоречит аксиоме. Такое противоречие как раз и доказывает некорректность чертежа.
Далее мы будем лишь называть аксиомы — без нумерации.
Задача 3. Прямые на плоскости
Решение. Нарисуем прямые $a$, $b$, $c$ и обозначим их точки пересечения $M$, $N$, $K$:
Точки $M$, $N$, $K$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости, эти три точки однозначно определяют некоторую плоскость $\alpha $.
Далее заметим, например, что точки $M\in \alpha $ и $N\in \alpha $ по построению. По основной Аксиоме прямой и плоскости вся прямая $MN=b$ лежит в этой плоскости, т.е. $b\subset \alpha $.
Аналогично доказывается, что прямые $a\subset \alpha $ и $b\subset \alpha $.
Задача 4. Пересечение плоскостей
Решение. Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости $\alpha $ и $\beta $, буквой $l$:
\
Дополнительное построение: прямая $AB$, которая пересекает прямую $l$ в точке $M$:
Точки $A\in \alpha $, $B\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $AB\subset \alpha $ — искомая линия сечения плоскости $\alpha $ и $ABC$.
Далее заметим, что точка $M\in l\subset \beta $. Дополнительное построение: прямая $CM$:
Точки $C\subset \beta $, $M\subset \beta $. И вновь по основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $CM$ — искомая линия сечения плоскости $\beta $ и $ABC$.
Хочу отметить, что задачи на построение — это отдельный класс задач. Как в планиметрии, так и в стереометрии. Там много интересных моментов, им посвящены отдельные уроки. А то, что мы сделали сейчас — это совсем уж простые рассуждения, которые тем не менее опираются на всю мощь аксиом.
Задача 5. Стандартное доказательство
Решение. Это классическая задача на доказательство, которую в разных формулировках предлагают во всех учебниках по стереометрии.
Обозначим параллелограмм $ABCD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.
Поскольку точка $O\notin AB$, точки $A$, $B$, $O$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости эти три точки однозначно определяют плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $.
Точки $A\in \alpha $, $O\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости, прямая $AO\subset \alpha $. Но точка $C\in AO\subset \alpha $. Следовательно, вершина параллелограмма $C\in \alpha $. Аналогично через точки $B$ и $O$ доказывается, что вершина $D\in \alpha $.
Замечание по поводу задач
Как видите, мы рассмотрели лишь самые простые задачи
Но даже на их примере видно, насколько важно чётко знать систему аксиом
Бесчисленное множество контрольных и экзаменов были завалены просто потому, что ученик не смог обосновать простые и наглядные рассуждения. Потому что, например, не знал: можно ли утверждать, что если две точки прямой лежат на плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.
В общем, учите аксиомы и практикуйтесь на простых примерах. А для более интересных задач нам потребуются некоторые следствия из этих аксиом. Чему и посвящён следующий урок.:)
- Следствия из аксиом стереометрии
- Теорема о трёх перпендикулярах
- Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
- Метод Гаусса
- Задачи про температуру и энергию звезд
- Задача B4 про шерсть и свитер
Аксиома пересечения плоскостей (основная)
Плоскости всегда пересекаются только по прямой:
Записывают это так: $\alpha \cap \beta =l$. И если найдётся точка $\color{red}{A}$ такая, что $\color{red}{A}\in \alpha $ и $\color{red}{A}\in \beta $, то гарантированно $\color{red}{A}\in l$.
Сейчас это может показаться рассуждениями Капитана Очевидности, но в первых же задачах на доказательство вы поймёте, насколько полезны эти аксиомы.
Существует два варианта взаимного расположения плоскостей:
- Плоскости пересекаются по прямой;
- Плоскости параллельны, т.е. не имеют общих точек.
Вернёмся к предыдущему рисунку, где на плоскости $\alpha $ стоит кирпич:
Видим, что плоскость $\color{red}{AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$ пересекает $\alpha $ по прямой $\color{red}{AB}$. А плоскость $\color{red}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$ параллельна $\alpha $.
Существует, конечно, третий вариант, когда плоскости совпадают. Это тривиальный случай, и мы не будем его рассматривать. Поэтому если в задаче фигурируют плоскости, то речь идёт именно о разных плоскостях, которые либо пересекаются, либо параллельны.
Важным следствием из трёх основных аксиом: если фигуры $\color{red}{{{F}_{1}}}$ и $\color{red}{{{F}_{2}}}$, лежащие в разных плоскостях, пересекаются друг с другом, то все их общие точки лежат на одной прямой. Более того: эти точки представляют собой либо отрезок, либо луч, либо отдельные точки, либо всю прямую, либо комбинацию таких объектов:
Фигуры $\color{red}{{{F}_{1}}}\subset \alpha $ и $\color{red}{{{F}_{2}}}\subset \beta $. Их пересечение $\color{red}{{{F}_{1}}}\cap \color{red}{{{F}_{2}}}$ — это отрезок $AB$.
Вот почему, например, сечение грани куба плоскостью всегда даёт либо точку, либо отрезок. Подробнее об этом — см. урок «Сечения многогранников». Это один из важнейших уроков во всём курсе стереометрии.
Почему решебник к учебнику по геометрии 7-9 класс рекомендован к просмотру?
Ученики 7-9 классов самостоятельно выполняют домашнюю работу. Сборник готовых ответов «Геометрия 7-9 класс Учебник Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. (2023г.)» поможет разобраться в правилах, способах решения сложных упражнений и задач.
К основным плюсам онлайн-пособия по геометрии можно отнести:
- удобную навигацию;
- интеллектуальный поиск;
- полное соответствие материала требованиям и критериям ФГОС;
- круглосуточный доступ к ресурсу;
- возможность доступа к пособию с любого устройства, оснащенного подключением к интернету.
Решебник дает ответы на задания, порядок и смысл которых соответствует учебнику. К каждому упражнению, школьник найдет развернутое описание способа решения, а также чертеж и последовательность его составления. Если ребенок испытывает трудности с освоением предмета, недопонимает материал, пропустил тему по причине отъезда или болезни, то нужно спешить открывать ГДЗ по геометрии 7-9 класс (Просвещение). Любой пробел восполнится после нескольких вечеров и не нужно будет тратить время, силы и средства на посещение дополнительных занятий.
Принципы геометрии 7 класса
1. Принцип соответствия
Принцип соответствия гласит, что фигуры, которые могут быть совмещены без вращения или искажения, считаются равными. Это значит, что две фигуры с одинаковыми размерами и формами считаются равными. Принцип соответствия является основой для различных методов сравнения фигур и решения геометрических задач.
2. Принцип вложения
Принцип вложения гласит, что если фигура целиком содержится внутри другой фигуры, то она также содержится внутри любой другой фигуры, вмещающей первую фигуру. Этот принцип позволяет определять взаимные положения фигур и решать задачи на вложение и пересечение фигур.
3. Принцип сравнения
Принцип сравнения гласит, что сравнение фигур осуществляется путем сравнения их длин, площадей, объемов и других характеристик. Сравнение фигур позволяет устанавливать иерархию между ними и определять отношения между их характеристиками.
4. Принцип построения
Принцип построения гласит, что для решения геометрической задачи необходимо построить определенные фигуры или чертежи, которые позволяют увидеть свойства и зависимости между элементами задачи. Построение фигур помогает визуализировать геометрические задачи и находить ответы на них.
5. Принцип определенности
Принцип определенности гласит, что для каждого геометрического понятия должны быть четкие и однозначные определения. Определения позволяют понять суть геометрического понятия и использовать его в решении задач. Принцип определенности также устанавливает связь между геометрическими понятиями и математическими символами и операциями.
Принципы геометрии 7 класса
Принцип
Описание
Принцип соответствия
Фигуры, совмещаемые без вращения или искажения, считаются равными.
Принцип вложения
Фигура, содержащаяся внутри другой фигуры, содержится и внутри вмещающей фигуры.
Принцип сравнения
Сравнение фигур осуществляется путем сравнения их характеристик.
Принцип построения
Для решения задачи необходимо построить фигуры или чертежи, отображающие свойства и зависимости между элементами.
Принцип определенности
Для каждого геометрического понятия должно быть четкое и однозначное определение.
Проверка и корректировка
После того как конспект по геометрии для 7 класса будет составлен, необходимо провести его проверку и корректировку, чтобы убедиться в его правильности и полноте.
Проверка начинается с тщательного перечитывания всего текста конспекта
Важно обратить внимание на грамматические и пунктуационные ошибки, опечатки, а также на логическую последовательность изложения материала
После этого следует проверить правильность применения геометрических определений, формул и теорем. Возможно, потребуется обратиться к учебнику или другим источникам для проверки точности и корректности использования этих математических понятий.
Рекомендуется также пройти по всем примерам и упражнениям, указанным в конспекте. Убедитесь в том, что все задания решены правильно и пошагово, и что предложены все необходимые вычисления и пояснения.
Однако проверка написанного текста еще не заканчивается
Важно также провести корректировку структуры и оформления конспекта. Удостоверьтесь в том, что весь материал разделен на логические главы и параграфы, и что каждый аспект геометрии представлен в соответствующем порядке
Также уделите внимание визуальному оформлению конспекта. Убедитесь, что использованы четкие заголовки и подзаголовки, а также различные стили текста и маркеры, чтобы сделать текст более наглядным и легкочитаемым
Проверьте, что использованы логические таблицы, рисунки и диаграммы, где необходимо, чтобы проиллюстрировать геометрические принципы и концепции.
И наконец, перед окончательным завершением конспекта, прочтите его еще раз, чтобы убедиться, что весь текст четкий, последовательный и полный, и что нет никаких пробелов или ошибок.
После окончательной проверки и корректировки, ваш конспект по геометрии для 7 класса будет готов к использованию.